수학-해석 기하학 (2)

포물선 (Parabola)

포물선은 어떤 고정된 직선 D로부터 일정 거리에 있는 점 F와의 거리가 d인 점들로 이루어진 선이다. 여기서 점 F는 초점 (Focus), 직선 D는 directrix라고 한다.

말로 설명하면 좀 복잡한데 그림으로는 다음과 같이 표현된다.

위의 그림에서 점 F를 지나고 직선 D와 직각으로 만나는 선이 하나 있는데, 이는 포물선의 대칭축 (Axis of symmetry)이다. 이 대칭축과 포물선이 만나는 점은 꼭지점 (vertex, V)이 된다.

간단히 말하면, 포물선은 다음과 같은 식을 만족하는 점 P의 집합이라고 할 수 있다.

d(F, P) = d(P, D)

d(F, P)는 점 F로부터 점 P까지의 거리, d(P, D)는 점 P로부터 직선 D까지의 거리를 나타내며, 둘 다 d로 그 거리는 동일하다.

꼭지점 V가 포물선 위에 있기 때문에 다음의 식이 만족되어야 한다.

d(F, V) = d(V, D)

포물선의 꼭지점이 원점에 있는 경우

위의 그림과 같이 포물선의 꼭지점이 원점 (0,0)에 있는 경우, 점 F의 위치는 비교적 쉽게 찾을 수 있다. 점 F가 x축의 양의 방향에 있는 경우를 고려해보자. 점 F에서 점 V까지의 거리가 a이므로, a>0 일때 점 F의 좌표는 (a, 0)이 된다. 동일하게, 점 V에서 직선 D까지의 거리 또한 a이고, 직선 D는 x축과 직각이므로 (이 때 x축은 포물선의 대칭축이다.),  직선 D에 대한 식은 x=-a가 된다.

점 P가 포물선 위에 있는 경우, P는 조건 d(F, P) = d(P, D)을 만족한다. 따라서 해당 포물선의 식은 다음과 같이 도출된다.

$$\sqrt{(x – a)^2 + (y – 0)^2} = |x + a|$$
$$(x – a)^2 + y^2 = (x + a)^2$$
$$x^2 – 2ax + a^2 + y^2 = x^2 +2ax + a^2$$
$$y^2 = 4ax$$

포물선의 식은 위의 식 하나만 있는 것은 아니며, 점 V와 점 F의 위치에 따라 여러가지로 표현될 수 있다.

아래의 표는 두 점의 위치에 따른 포물선의 식을 정리한 것이다.

점 V (Vertex)	점 F (Focus)	Directrix (직선 D)	식	설명
(0, 0)	(a, 0)	$$x = -a$$	$$y^2 = 4ax$$	대칭축: x축, 포물선은 오른쪽으로 개방됨
(0, 0)	(-a, 0)	$$x = a$$	$$y^2 = -4ax$$	대칭축: x축, 포물선은 왼쪽으로 개방됨
(0, 0)	(0, a)	$$y = -a$$	$$x^2 = 4ay$$	대칭축: y축, 포물선은 위쪽으로 개방됨
(0, 0)	(0, -a)	$$y = a$$	$$x^2 = -4ay$$	대칭축: y축, 포물선은 아래쪽으로 개방됨

위의 경우는 간단한 경우이고, 꼭지점 V가 원점이 아닌 다른 점 (h, k)에 위치한 경우도 있다.

이 경우 포물선의 대칭축은 X축이나 Y축 둘 중 하나와 평행이 된다. 이와 관련된 식은 다음 표에 정리했다.

점 V (Vertex)	점 F (Focus)	Directrix (직선 D)	식	설명
(h, k)	(h+a, k)	$$x = h – a$$	\[ \begin{gather} (y – k)^2 \\ = 4a(x – h) \end{gather} \]	대칭축은 x축과 평행, 포물선은 오른쪽으로 개방됨
(h, k)	(h-a, k)	$$x = h + a$$	\[ \begin{gather} (y – k)^2 \\ = -4a(x – h) \end{gather} \]	대칭축은 x축과 평행, 포물선은 왼쪽으로 개방됨
(h, k)	(h, k+a)	$$y = k – a$$	\[ \begin{gather} (x – h)^2 \\ = 4a(y – k) \end{gather} \]	대칭축은 y축과 평행, 포물선은 위쪽으로 개방됨
(h, k)	(h, k-a)	$$y = k + a$$	\[ \begin{gather} (x – h)^2 \\ = -4a(y – k)\end{gather} \]	대칭축은 y축과 평행, 포물선은 아래쪽으로 개방됨