해석 기하학
내가 학생일 때 수학, 특히 기하학은 내가 제일 지겨워한 부분이었다.
기하학은 도형과 관련된 분야인데, 학생 때 공부할 때도 그랬지만 지금 생각해도 지겨운 분야였다.
최근 몇 달 전부터 중고등학생을 대상으로 Precalculus를 가르치고 있는데 해석 기하학(Analytic Geometry) 부분이 나왔다.
학생 때 지겨웠던 기억도 있고, 애초에 제대로 공부했던 적도 없어서 그냥 무시하고 다른 분야로 넘어가고 싶었다. 그러나…이제 다른 사람의 공부를 책임진 입장에서 그건 못할 짓이라는 생각이 들었다. (그래도 얘가 희망하는 대학에는 보내야지 않겠는가)
그래서 옛날 기억을 되살릴겸 나 자신의 공부도 겸해서 기하학 부분에 대한 글을 쓰기로 했다. 일단은 원뿔 곡선부터 시작해 보자.
원뿔 곡선 (Conics)
원뿔 곡선을 이해하려면 우선 right circular cone에 대해서 이해해야 할 것 같다. 한 점에서 서로 만나는 두 선이 있는데, 한 선은 세로로 직각이며 다른 한 선은 비스듬한 선이다. 이때 세로로 직각인 선을 축으로 하여 다른 선을 한바퀴 돌리면 형성되는 것이 right circular cone이다. 이 right circular cone으로 형성된 원뿔은 두 개이며, 각 꼭지점은 서로 마주하는 형태를 가지고 있다.
원뿔 곡선은 이 right circular cone과 평면(plane)이 만나서 그 단면에 나타나는 곡선이다. 원뿔 곡선의 형태는 원뿔과 만나는 평면의 각도에 따라 달라진다. 평면이 원뿔의 세로축과 직각인 경우에는 그 단면은 원(circle)이 되고, 평면이 약간 기울어서 한 원뿔의 양쪽 빗면을 지나갈 경우에는 타원(ellipse)이 되며, 평면이 더 기울어서 단 한쪽의 빗면과 평행을 이루는 경우에는 포물선(parabola)이, 평면이 양쪽 원뿔의 빗면과 만날 경우 그 단면은 쌍곡선(hyperbola)이 된다.
그리고 만약 평면이 원뿔의 꼭지점을 지나갈 경우, 그 단면은 점, 선 혹은 한 쌍의 교차선이 된다. 이를 degenerate conics라고 한다.
원뿔 곡선은 실생활에서 여러 분야에 활용된다. 예를 들어, 포물선은 서치라이트와 망원경을 개발할 때 사용되고, 타원은 행성의 궤도를 계산할 때 사용되며, 쌍곡선은 낙뢰지점을 특정하거나 원자로 냉각탑을 설계할 때 사용된다. 여러분이 만약 관련 업무에 종사하고 있거나 목표로 삼고 있다면, 이 원뿔 곡선들을 기하학적으로 분석하는 것이 도움이 될 것이다.
다음 글에서는 포물선을 시작으로 하여 기하학에 대해서 써볼까 한다.